科普第27篇——计算机是怎样做加减法的

上一次讲了计算机怎样做加法。

我们讲到了半加器。

半加器的逻辑电路：


我们说到半加器能产生进位，但却不能处理低位传上来的进位。于是我们需要另一个半加器来把低位的进位和本位想加，这就是全加器。

全加器的逻辑电路：


我们把两个半加器分别圈出来，这样看得更清楚些：


当然，在设计的时候并不需要完全把全加器的逻辑电路完全绘制出来，我们可以这么表示全加器：


把多个全加器的C_in和C_out串联起来，就能组成多位加法器了：


这是一个8位的加法器，当然，我们还可以组成16位、32位、64位的加法器，这要看你的处理器是打算处理多少位数据的了。
我们也可以更简单地表示8位加法器：


当然，就算只有8位处理器，我们也是可以处理更多位的计算的，只不过要分成很多步罢了。
我们把一个数字从低到高每8位分成一组，然后先计算低位，再计算高位。
我们可以把8位加法器C_out输出的进位存储到某个地方，在计算高位的时候再取出来从C_in输入进去。这样就能把低位计算产生进位加到高位的计算中去，不管是多少位的数字加法都能计算了。
两个数相加，进位要么为0（没有进位），要么为1（有进位），想想为什么？

比如两个十六位数（当然是二进制数了！）相加：
二进制：1000 1010 0110 0011 + 0010 1011 1101 1111
十六进制：8A63 + 2BDF
十进制：35427 + 11103

我们先计算低位的8位，由于是最低的8位，所以进位为0：
0 +
0110 0011 +
0101 1111 =
1 0100 0010

可以看到产生了进位，我们不用管他，我们现在需要的只是低8位的结果。

然后我们再计算高8位，只不过这次要把进位1加进去：
1 +
1000 1010 +
0010 1011 =
1011 0110

把高低位组合起来，就是最终的结果了：1011 0110 0100 0010

其实，道理和我们把二进制加法拆成一位一位的算（全加器）是一样的。如果我们升级成16位的加法器，那么16位数的加法只需要一次计算就能完成，就不需要两次计算了。所以提高加法器的位数在我们计算更大的数时是有性能提升的。但用16位加法器来计算8位加法，和8位加法器就没什么区别了。


那么计算机又是怎样做减法的呢？

别担心，我们不会设计一种减法器了。我们其实可以把减法转变成加法。
当然，我们不是要把数计算出相反数来，因为我们还不知道负数的加法怎么做呢，甚至我们都还没有说负数怎么表示呢。

不过在此之前，我们先来看看怎么处理减法中的借位问题。

我们还是先来看十进制的减法吧：
3721 - 1357

可以看到，算个位的1-7时，我们需要借位，算得11-7=4，然后算十位的2-5-1（1是低位的借位）时，我们又要借位，算得12-5-1=6，然后百位的7-3-1=3，千位3-1=2，最终结果2364。

其实我们还可以这样算：
先用9999 - 1357 = 8642
然后8642 + 3721 = 12363
然后12363 - 10000 = 2363
最后2363 + 1 = 2364

这是什么原理呢？写成这样大家就理解了：
3721 - 1357 = 3721 - 1357 +10000 - 10000 = 3721 - 1357 + 9999 + 1 - 10000 = ( 3721 + ( 9999 - 1357 ) ) - 10000 + 1

这样虽然还是有减法，但是没有借位了，通过这种方法我们解决了借位的问题。
8642是每一位都用9去减1357得到的数，这样的数所以称作9的补数。比如 5427 的9的补数是 4572 ，17654 的9的补数是82345。

而在二进制中，处理起来就更方便了。下面以4位二进制数为例：
1100 - 1001
首先1111 - 1001 = 0110
然后0110 + 1100 = 1 0010
然后1 0010 - 1 0000 = 0010
最后 0010 + 0001 = 0011

第三步很好处理，只要把四位加法得到进位舍弃就行了。
而第一步就体现了二进制的好处了——用1111减去任何一个4位二进制数，就相当于把每一位数的0变为1、1变为0。更多位数也有这样的规律，如：
11 1111 - 10 1010 = 01 0101
1111 1111 - 1001 1011 = 0110 0100

由于每一位数都是用1去减，所以这样的数就称作1的补数。又由于正好和原来的数1、0相反，所以我们又把1的补数称作反码（相应的原来的数称作原码）。

记得上一次我们说过的逻辑电路吗？要取得一个数的反码，只要把这个数的每一位都执行非运算就行了。我们把每一位都执行非运算叫做按位取反。

但是这个方法还有一个问题，我们还没有一种表示负数的方法。如果结果出现负数，我们就没法处理了。我们也没有一种处理负数加减法的方法。

究竟怎么办呢？且听下回分解。


==========之前的文章==========
科普第1篇——计算机色彩
科普第1篇补遗——CSS颜色
科普第2篇——光盘
科普第3篇——2、8、10、16
科普第4篇——电池
科普第5篇——浏览器
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科普第9篇——为什么32位CPU不能支持大于4GB内存？
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科普第17篇——域名解析
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科普第19篇——时间
科普第20篇——日期
科普第21篇——日期时间补遗及计算机的时间
科普第22篇——网络（0）：基本概念
科普第23篇——二进制的线性编码
科普第24篇——网络（1）：OSI模型
科普第25篇——外部接口（第一次修订）
科普第26篇——计算机是怎样做加法的

科普番外篇1——虽然没用但了解一下也很有趣的知识
科普番外篇2——月食

难道是用补码来算？

好苦逼的演算啊...完全看不懂

额……头，头略大。我果然还是比较适合十进制啊

同上……头略大……感觉这些我早晚要学的……计算机原理……蛋疼……涉及物理什么的电压什么的……头就大了……

负数是不是先用判断指令判别大小，得出是否带负号，以大减小计算？

我看我还是改行算了。

不错 啊 这使我想起我们大学的单片机了!