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科普第26篇——计算机是怎样做加法的
本来这篇应该是讲内部接口的，本来接下来应该继续讲网络的，可是我自己的电脑不能用，只能在网吧将就一下，于是就来这样一篇吧。
首先，我们要明确一点——计算机是不会做数学运算的。 可能有人要反驳了，别急，我们慢慢说来。 那么计算机会做什么运算呢？对计算机有一点了解的人可能已经知道答案了——计算机只会做逻辑运算。 什么是逻辑运算，说白了，就是对“真”和“假”的运算。 真和假这两种状态可以非常方便地表示——可以是电位的高和低，可以使电流的有和无，或者，可以是0和1。 没错，正是因为计算机只会做逻辑运算，所以计算机里使用的基本数制才是二进制——0和1.，真和假，就这么对应上了。 逻辑运算，高中都要学，即使没学过的不太理解，将来也会明白的。 逻辑运算只有三种基本运算：或、与、非。 或和与都是双目运算符，需要对两个数进行运算；非是单目运算符。 逻辑运算里最常见的一种表示方式，就是真值表了。为了加深大家对二进制的印象，下面都用0表示假，1表示真。 或运算（or）：或运算用符号“∨”来表示，在计算机和电子学领域也会见到“||”、“+”（逻辑加）的表示方式。A∨B的真值表如下： [table=20%][tr][td]A [/td][td]B [/td][td]A∨B [/td][/tr][tr][td]0 [/td][td]0 [/td][td]0 [/td][/tr][tr][td]1 [/td][td]0 [/td][td]1 [/td][/tr][tr][td]0 [/td][td]1 [/td][td]1 [/td][/tr][tr][td]1 [/td][td]1 [/td][td]1 [/td][/tr][/table] 用文字来描述的话，就是“只有在A、B均为假时，A∨B才为假。” 与运算（and）：与运算用符号“∧”来表示，在计算机和电子学领域也会见到“;;”、“·”（逻辑乘）的表示方式。A∧B的真值表如下：
用文字来描述的话，就是“只有在A、B均为真时，A∧B才为真。” 非运算（not）：非运算通常用符号“¬”来表示，除此之外还有一横（加在逻辑数之上）、“~”、“!”等表示方式。¬A的真值表如下：
用文字来描述的话，就是“对A取相反的值“。 其他所有的逻辑运算，都可以用这三种基本运算表示出来。 可是，还是没说到计算机是怎样做加法的啊！ 别着急，我们先来看看一位二进制数的加法： 0+0=0 1+0=1 0+1=1 1+1=10 如果我们把进位另外考虑的话，最后一个可以写成1+1=0（进一位）。 然后我们把0当做假，1当做真，把二进制加法转换成某种逻辑运算。我们先用⊕来表示这个运算，其真值表如下
文字描述就是：”A和B不同时为真，相同时为假“。 上面说过，所有其他逻辑运算都可以用三种基本运算来表示，那么这个运算怎么表示呢？ 不需要大家去自己去想，下面就告诉大家： A⊕B = ( A ∧ ¬B ) ∨ ( ¬A ∧ B ) = ( A ∨ B ) ∧ ( ¬A ∨ ¬B ) = ( A ∨ B ) ∧ ¬( A ∧ B ) = ¬( ( A ∧ B ) ∨ ( ¬A ∧ ¬B ) ) 上面几个式子都是等价的，至于怎么转换，有兴趣的去查查相关的内容吧！ 这种运算，就被称作”异或“（xor），异或的运算符正是我们上面所用的这个。根据这种运算设计出来的逻辑电路，就被称作”半加器“。当然，半加器除了有异或运算输出的当前位之外，还有一个表示进位的输出，这个输出想必大家能看出来，就是根据A∧B算出来的。 又说到了新名词，逻辑电路。逻辑电路，顾名思义，就是进行逻辑运算的电路。逻辑电路里的基本构成是逻辑门，所以逻辑电路也叫门电路。逻辑电路是由晶体管等电子元件构成的，但是为了表示方便，逻辑门有自己的符号（而不考虑实际是由什么电子元件组成的）。逻辑电路从输入端输入高、低电平，从输出端输出经过逻辑运算得到的高低电平（究竟是高表示真低表示假，还是低表示真高表示假，这并没有统一规定）。上面介绍的四种运算的表示方法如下： 非门：  与门：  或门：  异或门：  半加器有两个输入端A和B（加数和被加数），有两个输出端S（和）和C（进位），S=A⊕B，C=A∧B。真值表如下：
半加器的逻辑电路如下：  可是，还是有问题，半加器虽然能输出进位，但却无法输入进位，于是又在此基础上，构造了一种新的逻辑电路——全加器。 相比半加器，全加器多了一个输入进位的Cin，输出的和S和进位Cout也是在A、B、Cin相加算出的。 S=(A⊕B)⊕Cin Cout=(A∧B) ∨(Cin∧(A⊕B))=(A∧B)∨(B∧Cin)∨(Cin∧A) 真值表：
逻辑电路：  不知各位有没有注意到，全加器是由两个半加器组成的，两个半加器的C端再通过一个或门（也可以用异或门代替，想想为什么）。 将多个全加器Cout和Cin串联起来，就能组成多位加法器，加数和被加数的各位分别从对应的加法器的A、B端输入，和就从加法器的S端输出，最初的Cin可以输入0而最后的Cout可以输出到一个溢出标志位。 就这样，数学运算就被转换成逻辑运算了。 在电子计算机出现以前，已经有很多数学家为它的诞生打下了基础，比如学过计算机编程的一定不陌生的乔治·布尔（George Boole），就对本文中讲到的数理逻辑做出了很多贡献。 后面有机会，我们来讲讲计算机是怎样做减法的吧。 ==========之前的文章========== 科普第1篇——计算机色彩 科普第1篇补遗——CSS颜色 科普第2篇——光盘 科普第3篇——2、8、10、16 科普第4篇——电池 科普第5篇——浏览器 科普第6篇——字符编码 科普第7篇——加密解密 科普第8篇——移动通信技术 科普第9篇——为什么32位CPU不能支持大于4GB内存？ 科普第10篇——智能手机简介 科普第11篇——14.52-14.49=0.0299999？ 科普第12篇——为什么HTTPS会更安全？ 科普第13篇——计算机语言 科普第14篇——字体（上） 科普第15篇——字体（中） 科普第16篇——字体（下） 科普第17篇——域名解析 科普第17篇补遗——域名 科普第18篇——虚拟内存 科普第19篇——时间 科普第20篇——日期 科普第21篇——日期时间补遗及计算机的时间 科普第22篇——网络（0）：基本概念 科普第23篇——科普第23篇——二进制的线性编码 科普第24篇——网络（1）：OSI模型 科普第25篇——外部接口（第一次修订） 科普番外篇1——虽然没用但了解一下也很有趣的知识 科普番外篇2——月食 |
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